Análisis Dimensional

El análisis dimensional es una poderosa herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema de Vaschy-Buckingham.

Es una herramienta eficaz para el estudio de múltiples problemas físicos, tanto de índole teórico como experimental. Aprovecha el hecho de que las dimensiones pueden tratarse como cantidades algebráicas, la cuales,  sólo pueden sumarse o restarse si tienen las mismas dimensiones. 

Se basa en que las ecuaciones físicas deben ser homogéneas, es decir, las dimensiones de las magnitudes en ambos lados de una igualdad deben ser idénticas.

El método a seguir consiste en reducir cada una de las magnitudes presentes en la igualdad a productos y cocientes entre magnitudes fundamentales.
Con el análisis dimensional se puede deducir o verificar una fórmula o expresión, determinar las unidades (o dimensiones) de la constante de proporcionalidad, pero no su valor numérico. Por lo que no se pueden determinar las constantes adimensionales.

Aplicacion del Análisis Dimensional

• • Detección de errores de cálculo.
• • Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades matemáticas insalvables.
• • Creación y estudio de modelos reducidos.
• •Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos, etc. 
  
  
  OBJETIVO:
  Aplicar el análisis dimensional en el despeje de fórmulas y en la obtención correcta de unidades
  Existen diferentes sistemas de unidades. Las cantidades físicas pueden expresarse en distintas unidades según la escala en que esté graduado el instrumento de medición.
  Una distancia puede expresarse en metros, kilómetros, centímetros o piés, sin importar cual sea la unidad empleada para medir la cantidad física distancia, pues todas ellas se refieren a una dimensión fundamental llamada longitud, representada por L.
  
  El buen manejo de las dimensiones de las cantidades físicas en una ecuación o fórmula física, nos permite comprobar si son correctas y si se trabajaron debidamente. 
  Al aplicar una expresión ecuación o fórmula física, debemos recordar dos reglas:
  
  1.- Las dimensiones de las cantidades físicas a ambos lados del signo de igualdad, deben ser las mismas.
  
  2.- Sólo pueden sumarse o restarse cantidades físicas de la misma dimensión.
  
  Ejemplos: 

• Partiendo de las dimensiones: longitud (L), masa (M) y tiempo (T), obtendremos las ecuaciones dimensionales de algunas cantidades físicas:
  • Ecuación dimensional para el área:
  

  A = lado x lado 

  [A]= L·L = L^ 2

  • Ecuación dimensional para la velocidad:
  

  V = d / t 

  [V]= [L]/[T]

  
  Si conocemos las dimensiones de una cantidad física podemos trabajar las unidades correspondientes según el sistema de unidades.

 1) Determinar si la expresión: 

x=vot+1/2 a t^2 

es dimensionalmente correcta.
     a) Determino las dimensiones de cada una de las variables: 

[x] = L, 

[a] = L/T^2=LT^{-2}, 

[t]^2=T^2

    b) Igualo las dimensiones de cada variable: 

[x] =[a]·[t]^2

[L]= [LT^{-2}]·[T^2]

     c) Sustituyo las dimensiones de cada variable: 

[L] = [LT^{-2}]·[T^2]

   d) Opero algebráicamente con las dimensiones (agrupo las dimensiones iguales y aplico propiedades de potencias): 

L = L [T^{-2}].[T]^2 = 

L = L T ^ {-2+2} = LT^0 = L 

L=L

  e) Concluyo en función del resultado si es dimensionalmente correcto. 
En este caso sí lo es.
 
2) A partir de la ley de Gravitación Universal de Newton: determinar las dimensiones de la constante de gravitación G.
  a) A partir de la ley puedo deducir que:
  b) Las dimensiones son: 

m y M = [M]; 

r^2 = [L^2]; 

[F] =[MLT^{-2}] (pues F = m.a);

  
c) Sustituyo:

 [G] =[F]·[r^2]/([M]·[m])

  d) Opero algebráicamente:

[G] = [MLT^{-2}]·[ L^2]/[M·M)]

  e) 

[G]= [M(^{1-(1+1)})]·[L^{1+2}]·[T^{-2}] =[M^{-1}]·[L^{3}]·[T^{2}]

[G]=[L^3]·[T^2]/M

Más EJEMPLOS
Demostrar que la Expresión:

d = (V0t + at^2) / 2  

es dimensionalmente válida.
 

SOLUCIÓN. 

Sustituyendo las cantidades físicas por sus dimensiones tenemos que:
L=[L/T]·T+[L/T^2]·[T^2]/2
L=L+L/2=L
Por lo tanto 

L = L

ACTIVIDAD:
Demuestre si dimensionalmente son correctas las siguientes expresiones:
 

V = [L]·[L]·[L]
 

T = [F]·[d]
 

d = (Vf^2 - V0^2) / 2·a

Referencias:

[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_%CF%80_de_Vaschy-Buckingham
[2] (2010, 02). Analisis Dimensional. BuenasTareas.com. Recuperado 02, 2010, de http://www.buenastareas.com/ensayos/Analisis-Dimensional/141829.html 
[3] https://sites.google.com/site/timesolar/fisicamatematica/analisisdimensional
[4] http://galia.fc.uaslp.mx/~medellin/analisisDim.pdf
[5] http://www.slideshare.net/alejandrorequena/sistema-de-unidades-y-anlisis-dimensional